Een cirkel van Apollonius is de meetkundige plaats van punten $ P $ in het vlak waarvoor de verhouding van de afstanden tot twee vaste punten $ A $ en $ B $ constant is, ofwel $ \frac{AP}{BP} = k $ voor een vaste waarde $ k > 0 $, $ k \ne 1 $.

Stel dat punt $ A $ in $ (-a, 0) $ en punt $ B $ op $ (a, 0) $ ligt.

Dan volgt uit $ \dfrac{AP}{BP} = k $ de vergelijking: $k=\dfrac{\sqrt{(a+x)^2+y^2}}{\sqrt{(a-x)^2+y^2}}$

kwadrateren levert:

$a^2+2ax+x^2+y^2=k^2(a^2-2ax+x^2+y^2)$

$a^2-2ax\dfrac{k^2+1}{k^2-1}+x^2+y^2=0$

kwadraat afsplitsen:

$\left(x-a\dfrac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2+y^2= \left(a\dfrac{2k}{k^2-1}\right)^2$

Dit is de cirkel die bij punt $B(a,0)$ hoort. De bij $A(-a,0)$ behorende cirkel heeft vergelijking:

$\left(x+a\dfrac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2+y^2= \left(a\dfrac{2k}{k^2-1}\right)^2$

Bij het berekenen van de snijpunten van deze twee cirkels kunnen we eerst de vergelijkingen van elkaar aftrekken. Dat geeft $x=0$. Invullen geeft:

$\left(a\dfrac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2+y^2= \left(a\dfrac{2k}{k^2-1}\right)^2$

$y^2=\left(\dfrac{2ak}{k^2-1}\right)^2- \left(a\dfrac{k^2+1}{k^2-1}\right)^2=-a^2$

De cirkels snijden elkaar allemaal in de punten $(0,\pm ia)$

Nu laten we het punt $A$ (en dus ook $B$) bewegen over de lijn $XX^\prime$.